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Mathématiques tout-en-un PC PSI / Claude Deschamps (2005)

Public Titre : Mathématiques tout-en-un PC PSI : le cours de référence Type de document : Guide/Manuel Auteurs : Claude Deschamps, Éditeur scientifique ; André Warusfel, Éditeur scientifique Editeur : Paris : Dunod Année de publication : 2005 Importance : 1130 p. Format : 17 x 24 cm ISBN/ISSN/EAN : 978-2-10-054310-6 Langues : Français (fre) Descripteur : [Vedettes matières IGN] Mathématique [Termes IGN] algèbre linéaire [Termes IGN] calcul différentiel [Termes IGN] calcul intégral [Termes IGN] convergence [Termes IGN] équation différentielle [Termes IGN] espace de Hilbert [Termes IGN] espace euclidien [Termes IGN] série de Fourier [Termes IGN] série mathématique [Termes IGN] surface (géométrie) Note de contenu : 1 Intégration sur un intervalle quelconque 1 Intégrales impropres 1.1 Définitions 1.2 Intégrales des fonctions à valeurs réelles positives 1.3 Intégrales absolument convergentes 1.4 Intégrales semi-convergentes 2 Fonctions intégrables sur un intervalle quelconque 2.1 Définitions 2.2 Propriétés 2 Convergence dominée et applications 1 Le théorème de convergence dominée 2 Intégrales dépendant d'un paramètre 2.1 Continuité 2.2 Dérivation 3 Suites récurrentes 1 Suites récurrentes simples 1.1 Utilisation de propriétés globales de f 1.2 Utilisation de propriétés locales de f 2 Récurrences linéaires 2.1 Généralités 2.2 Récurrences linéaires d'ordre 2 avec second membre constant 4 Séries numériques 1 Généralités 1.1 Définitions 1.2 Séries particulières 2 Propriétés des séries à termes réels positifs 2.1 Le théorème de comparaison 2.2 Méthodes d'études des séries à termes réels positifs 3 Séries à termes quelconques 3.1 Convergence absolue 3.2 Produit de deux séries absolument convergentes 3.3 Semi-convergence 3.4 Séries et intégrales impropres 5 Espaces vectoriels normes 1 Normes et distances 1.1 Norme sur un espace vectoriel 1.2 Exemples usuels d'espaces vectoriels normes 1.3 Boules, parties bornées 2 Suites dans un espace vectoriel norme 2.1 Suites convergentes, suites divergentes 2.2 Opérations algébriques sur les suites convergentes 2.3 Limites infinies 3 Normes équivalentes 3.1 Comparaison de normes 3.2 Comparaison des normes classiques 4 Espaces vectoriels normes de dimension finie 4.1 Équivalence des normes 4.2 Suites dans un espace vectoriel de dimension finie 4.3 Ouverts, fermés, compacts 5 Étude locale d'une application en dimension finie 5.1 Limite, continuité en un point 5.2 Extension de la notion de limite au cas de l'infini 5.3 Propriétés des limites 5.4 Opérations algébriques sur les limites 5.5 Composition de limites 5.6 Utilisation des fonctions coordonnées 5.7 Relations de comparaison 6 Continuité 6.1 Applications continues, applications lipschitziennes 6.2 Opérations sur les applications continues 6.3 Image d'un compact 6.4 Continuité des applications linéaires et bilinéaires 6 Fonctions vectorielles d'une variable réelle 1 Fonctions continues par morceaux 1.1 Subdivisions d'un segment 1.2 Définition des fonctions continues par morceaux 1.3 Fonctions affines par morceaux 1.4 Fonctions en escalier 2 Approximation uniforme des fonctions d'une variable réelle 2.1 Généralités 2.2 Approximation uniforme sur un segment d'une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier 2.3 Approximation uniforme sur un segment d'une fonction continue par des polynômes : théorème de Weierstrass 2.4 Théorème de Weierstrass trigonométrique 3 Intégration sur un segment des fonctions continues par morceaux 3.1 Définition de l'intégrale sur [a, b] des fonctions continues par morceaux 3.2 Propriétés de l'intégrale sur un segment [a, b] 4 Dérivée d'une fonction vectorielle de la variable réelle 4.1 Définitions 4.2 Propriétés des fonctions dérivables 5 Dérivées successives d'une fonction vectorielle de la variable réelle 5.1 Définitions 5.2 Propriétés des dérivées successives 6 Intégrales et primitives 6.1 Intégrale dépendant de sa borne supérieure 6.2 Primitives d'une fonction continue sur un intervalle 6.3 Inégalité des accroissements finis 6.4 Méthodes de calcul d'intégrales 6.5 Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales 7 Formules de Taylor 71 Formule de Taylor avec reste intégral (Taylor-Laplace) 72 Inégalité de Taylor-Lagrange 73 Formule de Taylor-Youne 7.4 Résumé des trois formules de Taylor 8 Extensions de certains résultats à des fonctions moins régulières 8.1 Primitives d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle I 8.2 Formules de Taylor 9 Calculs approchés des intégrales 9.1 Méthode des rectangles, sommes de Riemann 9.2 Méthode des trapèzes 9.3 Généralisation des deux méthodes précédentes Méthode de Gauss 7 Suites et séries de fonctions 1 Définition des convergences 1.1 Convergence simple 1.2 Convergence normale 2 Limite et continuité 2.1 Continuité de la somme 2.2 Interversion de limites 3 Intégration et dérivation 3.1 Intégration terme à terme sur un segment d'une série de fonctions 3.2 Dérivation terme à terme d'une série de fonctions 4 Séries de fonctions intégrables 4.1 Intégration terme à terme d'une série de fonctions intégrables 4.2 Autres méthodes pour intégrer terme à terme 8 Séries entières 1 Préliminaire : séries de fonctions de variable complexe 2 Notion de série entière et rayon de convergence 2.1 Définition d'une série entière 2.2 Le rayon de convergence 2.3 Détermination pratique du rayon de convergence 2.4 Opérations sur les séries entières 3 Convergence normale et conséquences 3.1 Convergence normale des séries entières 3.2 Continuité des séries entières 3.3 Dérivation et intégration terme à terme 4 Développement en série entière 4.1 Notion de développement en série entière 4.2 Développement en série entière des fonctions usuelles 4.3 Méthodes pour développer en série entière une fonction donnée 4.4 Sommation de séries 9 Algèbre linéaire 1 Familles d'éléments d'un ensemble 2 Espaces vectoriels 2.1 Sous-espace vectoriel engendré par une partie 2.2 Famille libres, familles génératrices et bases 2.3 Somme de sous-espaces vectoriels 3 Applications linéaires 3.1 Propriétés 3.2 Polynômes d'interpolation de Lagrange 3.3 Famille de projecteurs associée à une somme directe 3.4 Hyperplans 3.5 Trace d'une matrice carrée et d'un endomorphisme 4 Déterminants 4.1 Formes p-linéaires alternées 4.2 Déterminant dans une base d'une famille de vecteurs 4.3 Déterminant d'une matrice carrée 4.4 Déterminant d'un endomorphisme 4.5 Orientation d'un IR-espace vectoriel de dimension finie 5 Équations et systèmes linéaires 5.1 Équations linéaires 5.2 Systèmes linéaires 5.3 Système de Cramer 5.4 Résolution d'un système linéaire 10 Réduction 1 Sous-espaces stables 2 Éléments propres 2.1 Définition des éléments propres 2.2 Polynôme caractéristique 3 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 3.1 Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables 3.2 Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables 4 Polynômes d'endomorphismes et de matrices carrées 4.1 Généralités 4.2 Polynôme annulateur et éléments propres 4.3 Compléments (hors programme) 11 Espaces préhilbertiens réels Espaces euclidiens 1 Généralités 1.1 Définitions 1.2 Exemples d'espaces préhilbertiens réels 1.3 Norme euclidienne associée à un produit scalaire 2 Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel 2.1 Définitions et premières propriétés 2.2 Bases orthonormales dans un espace euclidien 2.3 Projections orthogonales 2.4 Symétries orthogonales 3 Endomorphismes orthogonaux d'un espace euclidien, matrices orthogonales 3.1 Endomorphismes orthogonaux 3.2 Matrices orthogonales 3.3 Caractérisation matricielle des changements de bases orthonormales 3.4 Caractérisation matricielle des endomorphismes orthogonaux 3.5 Étude de O (E) et de SO (E) si E est un plan euclidien 3.6 Produit mixte et produit vectoriel dans un espace euclidien orienté de dimension 3 3.7 Isométries vectorielles d'un espace euclidien de dimension 3 4 Endomorphismes symétriques d'un espace euclidien 4.1 Définition 4.2 Caractérisation matricielle des endomorphismes symétriques 4.3 Réduction des endomorphismes symétriques et des matrices symétriques réelles 4.4 Exercices d'applications des résultats précédents 12 Espaces préhilbertiens complexes 1 Généralités 1.1 Définitions 1.2 Exemples d'espaces préhilbertiens complexes 1.3 Norme hermitienne associée à un produit scalaire 2 Orthogonalité dans un espace préhilbertien complexe 2.1 Définitions et premières propriétés 2.2 Bases orthonormales dans un espace hermitien 2.3 Projections orthogonales 2.4 Symétries orthogonales 13 Séries de Fourier 1 Fonctions et séries de fonctions 2 pi-périodiques de R dans K 1.1 Généralités 1.2 Espace préhilbertien complexe C2 1.3 Séries trigonométriques 2 Séries de Fourier 2.1 Définitions et propriétés 2.2 Théorème de convergence en moyenne quadratique 2.3 Convergence ponctuelle des séries de Fourier 3 Séries de Fourier des fonctions T -périodiques 14 Équations différentielles 1 Systèmes linéaires à coefficients constants 1.1 Généralités 1.2 Méthodes de résolution 2 Équations linéaires scalaires du premier ordre 2.1 Généralités 2.2 Cas où la fonction a ne s'annule pas sur I 2.3 Cas où la fonction a s'annule sur I 3 Équations linéaires scalaires du second ordre 3.1 Généralités 3.2 Étude de l'équation homogène 3.3 Résolution de l'équation avec second membre 3.4 Méthodes de résolution 4 Équations différentielles non linéaires 4.1 Généralités 4,2 Équations à variables séparables 4.3 Systèmes autonomes dans le plan 4.4 Résolution approchée : méthode d'Euler 15 Fonctions de plusieurs variables réelles 1 Dérivées partielles, fonctions de classe Ck 1.1 Dérivées partielles 1.2 Fonctions de classe C1 1.3 Matrice jacobienne, jacobien 1.4 Opérations algébriques sur les applications de classe C1 1.5 Composée de fonctions de classe C1 1.6 Fonctions de classe Ck 2 Difféomorphismes, changement de variables 2.1 Difféomorphismes 2.2 Tangente à une courbe 2.3 Changement de variables 2.4 Exemples de changement de variables 3 Fonctions numériques de classe C1 3.1 Gradient 3.2 Extrema d'une fonction de plusieurs variables 16 Courbes du plan et de l'espace 1 Propriétés affines des arcs de classe Ck 1.1 Arcs paramétrés 1.2 Paramétrage admissible 1.3 Étude locale d'un arc de classe Ck 1.4 Courbe définie par une équation cartésienne 2 Propriétés métriques des arcs orientés de classe Ck 2.1 Longueur d'arc 2.2 Abscisse curviligne 2.3 Courbure d'une courbe plane 2.4 Calcul des courbures 3 Réduction des coniques 3.1 Rappels 3.2 Changement de repère 3.3 Equation réduite et nature d'une conique 3.4 Centre d'une conique non vide 17 Surfaces 1 Notion de surface et plan tangent à une surface 1.1 Surface paramétrée 1.2 Surface définie par une équation cartésienne 2 Intersection de deux surfaces 3 Surfaces usuelles 3.1 Cylindres 3.2 Cônes 3.3 Surfaces de révolution 3.4 Quadriques 4 Courbes tracées sur une surface 4.1 Arcs paramétrés sur une surface paramétrée 4.2 Sections planes 4.3 Contours apparents 18 Compléments de calcul différentiel et intégral 1 Intégrales multiples 1.1 Intégrales doubles 1.2 Changement de variables 1.3 Intégrales triples 1.4 Intégrales de surface 2 Champs de vecteurs 2.1 Circulation d'un champ de vecteurs 2.2 Flux d'un champ de vecteurs 2.3 Opérateurs différentiels 2.4 Formules de Stokes et d'Ostrogradski Solutions des exercices Index Numéro de notice : 15797 Affiliation des auteurs : non IGN Thématique : MATHEMATIQUE Nature : Manuel de cours Permalink : https://documentation.ensg.eu/index.php?lvl=notice_display&id=46487